Kapitel 4 Simulation

[digitale Werkzeuge]Beim Lernen von Mathematik in der Schule spielen nicht nur die mathematischen Inhalte und die allgemeinen Kompetenzen eine wichtige Rolle, sondern auch der richtige Einsatz von digitalen Werkzeugen. Die digitalen Mathematikwerkzeuge können beim Modellieren unter anderem als ein heuristisches Hilfsmittel dienen und somit die Problemlösefähigkeit verbessern (Greefrath und Siller 2018, 4–7). Diese Hilfsmittel – v.a. dynamisierte Darstellungsumgebungen – können SchülerInnen bei der Bearbeitung von Aufgaben unterstützen. Sie bieten sich unter anderem an, wenn das Änderungsverhalten von mathematischen Objekten beschrieben werden soll (Grünig, Dörfler, und Vogel 2018, 655). Da digitale Werkzeuge in bestimmten Bereichen universell zur Bearbeitung von unterschiedlichsten Problemen einsetzbar sind, nehmen sie auch die Rolle von Lernwerkzeugen ein. Sie sind also vergleichbar mit anderen Lernwerkzeugen wie Geodreieck und Zirkel. Zu den digitalen Werkzeugen gehören auch die Simulationen (Greefrath und Siller 2018, 4–7).

[Rolle der Technologie]Doch welche Rolle spielt die Technologie gerade im Unterrichtsfach Mathematik? Ein Beispiel hierfür wäre wieder die Variabilität (vgl. 2.3 Muster und Variabilität). Die Technologie “allows students to build intuition about variability through unlimited repetitions of a simulation or process quickly generating thousands of samples” (Simulation von Logistik-, Materialfluss- und Produktionssystemen – Grundlagen 2014). Aber auch der Wechsel zwischen Repräsentationsformen spielt in der Mathematik eine Rolle. Gerade in der Stochastik lassen sich Simulationen gut und schülerunterstützend einbringen: “Students use simulations – carry out repetitions, change parameters (i.e., sample size, number of repetitions), and describe and explain the observed behavior to make abstract concepts” (vgl. Burrill 2014, 155–56).

4.1 Simulationsbegriff

[Definition]Simulationen sind also digitale Werkzeuge, doch wie sind Simulationen definiert? Allgemein kann man Simulationen als “Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierfähigen Modell [verstehen], um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind”. In der Mathematik geht es bei Simulationen also um das Untersuchen eines Vorgangs, eines Prozesses oder eines Experiments mithilfe mathematischer Modelle (Greefrath und Siller 2018, 13). Der Begriff Simulation besteht aus den drei wesentlichen Bausteinen: System, Modell und Experiment. Modelle sind einerseits Abbildungen realer Objekte, welche idealisiert werden (müssen). Andererseits können sie auch Eigenschaften einer abstrakten Struktur geeignet darstellen. Ein System besteht aus einem oder mehreren strukturell verbundenen Elementen, welche untereinander unterscheidbar sind, jedoch Relationen aufweisen. Beim Experiment handelt es sich um ein objektives und wiederholbares Verfahren mit kontrollierbaren Rahmenbedingungen, um Erkenntnisse zu gewinnen (Wörler 2018a, 34–36).

[Klassische Differenzierung]Simulationen lassen sich in zwei große Klassen zusammenfassen. Beide Klassen basieren jedoch auf dem Modell des zu analysierenden Systems.

• Computersimulationen: Computersimulationen werden auch als “Simulationen mit abstrakt-mathematischen Modellen” bezeichnet. Als Beispiel kann hier der computergestütze Münzwurf anhand von Pseudozufallszahlen gesehen werden.
• Physikalische Simulationen: Diese Simulationen werden auch als analoge Simulationen betitelt, da sie Experimente mit gegenständlichen Modellen durchführen. Beispielsweise wird der Münzwurf konkret im Unterricht durchgeführt (Wörler 2018a, 24–25).

[Charakteristika]Jedoch verschwimmt diese klassischerweise disjunkte Unterscheidung zwischen Computersimulationen und analogen Simulationen speziell bei anschaulichen Lehr-Lern-“Simulationen”. In vielen Fällen der Simulationen gibt es einen realen Vorgang für die jeweilige Umsetzung. Beispiele können hier Zufallsexperimente, Zeichen- und Messgeräte oder auch technische Apparate, wie Bagger, Parkassistent, etc. sein. Doch auch innermathematische Themen wie Tangenten, Ableitungen und Integrale werden häufig mithilfe von Simulationen veranschaulicht. Zur technischen Einordnung können beispielsweise noch die Ausgabeformate herangezogen werden. Gerade Comuptersimulationen haben häufig eine Bildschirmausgabe. Oftmals können hier auch noch Steuerelemente wie Schaltflächen, Schieberegler etc. die Simulation unterstützen. Ein weiteres Charakteristikum ist, inwieweit der User Einfluss auf die Simulation hat (Wörler 2018c, 2036).

[Animation vs. Simulation]Bei einer Animation handelt es sich um eine Folge von Einzelbildern, welche sich jeweils nur wenig voneinander unterscheiden. Wird diese Folge schnell durchlaufen, so können Animationen in didaktischen Settings Vorgänge und Veränderungen visualisieren. Jedoch ist bei dieser Art von Visualisierung der Lernende nicht aktiv durch Interaktion eingebunden, was zu Passivität führen kann. Um dem gegenzuwirken, muss es dem User möglich sein, die Visualisierung zu beeinflussen. Dies ist der Schritt zur Simulation. Die Begriffe Simulation und Animation sind dennoch untrennbar miteinander verknüpft, vor allem wenn die Visualisierung eine zentrale Rolle in der Simulation einnimmt. “Werden Computersimulationen eingesetzt, um etwas zu erklären und zu veranschaulichen, dann benötigen sie eine geeignete dynamische Repräsentation – also bewegte Bilder, und damit eine Animation.” (Wörler 2018a, 29–30)

4.2 Funktionen von Simulationen

[Lehr- und Lernkontext]Im Lehr- und Lernkontext werden Simulationen häufig dazu genutzt, bestimmte Vorgänge zu erklären, indem bestimmte Teile veranschaulicht werden. Es geht also primär um die Illustration von Vorgängen. Deshalb wird auch oft eine grafische Repräsentationsform für die Simulation gewählt. Gerade funktionelle Zusammenhänge oder Kausalketten lassen sich grafisch gut aufarbeiten. Dabei sind folgende Funktionen im Unterrichtskontext besonders wichtig:

• Veranschaulichen
• Experimentieren mit Modellen
• Erklären
• Fragen generieren und beantworten

Eine zentrale Funktion der Simulation ist wahrscheinlich das Generieren und Beantworten von Fragen. Das Experimentieren und somit auch der direkte Einfluss auf die Simulation ist ein Herausstellungsmerkmal, welches beispielsweise die Simulation von der Animation abgrenzt (Wörler 2018a, 27–29).

[Forschung und Industrie]Sowohl in der Forschung, der Industrie, als auch der Wirtschaft werden Simulationen eingesetzt. Sei es in einem Windkanal mit dem Ziel, dass ein Objekt für einen speziellen Zweck optimiert wird. Ein weiteres Einsatzgebiet für Simulationen ist, dass sie als Grundlage für Prognosen, wie beispielsweise dem Wetter, der Ausbreitung von Wind, etc. dienen. Einen Überblick über die Funktionen der Simulationen soll folgende Liste geben:

• Übung, Training, Ausbildung (wie zum Beispiel ein Flugsimulator)
• Prognostizieren (von Wetter, Gasausbreitung, etc.)
• Experimentieren mit gefährlichen Stoffen
• Experimentieren und Optimieren von Modellen (Strömungsverhalten von bestimmten Autoteilen im Windkanal)
• Numerisches Berechnen von Lösungen komplexer Systeme (Diese Simulationen werden vor allem bei Finanztransaktionen eingesetzt, da analytisch korrekte Berechnungen hochkompliziert sind.)
• Veranschaulichen (unter anderem auch Beschleunigen, Verlangsamen von Prozessen)
• Erklären
• Fragen generieren und beantworten

Diese Liste ist nicht vollständig, soll aber exemplarisch Einblick in die Funktionen von Simulationen geben. Der Punkt “Fragen generieren und beantworten” kommt sowohl im Lehr- und Lernkontext als auch in den Sparten Forschung, Industrie und Wirtschaft vor (Wörler 2018a, 28)

4.3 Gestaltungsprinzipien

[kognitive Prinzipien]Die Gestaltungsprinzipien beziehen sich auf die direkte Beeinflussung der kognitiven Verarbeitungsprozesse. Allgemeine Gestaltungsprinzipien sind dabei:

• Modality Principle: Bei diesem Prinzip werden gesprochene Erläuterungen zu Bildern anstatt geschriebenen Erklärungen verwendet.
• Split-Attention Principle: Informationen, welche sich aufeinander beziehen, werden örtlich und zeitlich nahe beieinander gezeigt.
• Signaling Principle: Die Aufmerksamkeit wird auf die relevanten Informationen gelenkt.
• Redundance Principle: Redundante Informationen werden, soweit es möglich ist, vermieden.
• Coherence Principle: Nur relevante Informationen werden präsentiert.

Viele dieser Gestaltungsprinzipien hängen jedoch von bestimmten Rahmenbedingungen, Zielen und der angesprochenen Zielgruppe ab (Stiller 2018, 1744–6).

[Motivationale Prinzipien]Doch nicht nur kognitive Gestaltungsprinzipien spielen eine Rolle, sondern auch motivationale Aspekte sollten mitbedacht werden (Stiller 2018, 1745). Beispielsweise beschreibt Keller (2010), dass Lernende in einem Moment stark interessiert und engagiert sein können und im nächsten Moment “auf einem anderen Planeten” sind. Dadurch werden auch motivationale Gestaltungsprinzipien wichtig. Keller (2010) beschreibt das Attention-Relevance-Confidence-Satisfaction-Modell (ARCS-Modell), welches in vier Hauptkategorien unterteilt ist:

1. Aufmerksamkeit erlangen (Attention)
2. Relevanz und Bedeutsamkeit des Lehrstoffes vermitteln (Relevance)
3. Erfolgszuversicht (Confidence)
4. Zufriedenheit und Befriedigung (Satisfaction) (vgl. „Indirekte Motivationsfördermaßnahmen“ 14.06.2019)

Zu den motivationalen Gestaltungsprinzipien gibt es eine Vielzahl an Empfehlungen, wie beispielsweise das Erlangen der Aufmerksamkeit funktionieren könnte. Jedoch muss dies an die Lernenden angepasst werden. (Stiller 2018, 1745).

[affektive Prinzipien]Positive oder aktivierende Emotionen gehen oftmals mit einer Motivationssteigerung einher. Dies führt dann zu einer aktiveren Verarbeitung der Informationen. Als Designelemente werden bisher Farben, Anthropomorphismen und das Kindchenschema genannt. Aber auch der Enthusiasmus der Lehrpersonen kann Einfluss darauf nehmen. Positiv werden häufig warme, gesättigte Farben, runde Formen etc. gesehen (Stiller 2018, 1745).

[soziale Prinzipien]Es werden soziale Hinweisreize verwendet, welche eine soziale Reaktion bei den Lernenden und somit eine gesteigerte Lernmotivation und aktivere Verarbetung der Informationen nach sich zieht. Ein Beispiel ist das Personalization Principle, bei welchem die Erläuterungen in einer personalisierten statt formalen Form geschrieben sind (Stiller 2018, 1745).

4.4 Konzept der Interaktionsmöglichkeiten

[CLT und CMTL]In der cognitive load theory (CLT) geht es um sinnvolles Lernen und Problemlösen. Die Theorie wurde nicht speziell für Simulationen formuliert sondern für das Lernen für jegliche Informationspräsentation. Mithilfe von CLT lassen sich multimediale Lernunterlagen erstellen. Eine Hauptaussage von CLT ist: “Only if the information processing takes place without disturbances may the learner build an adequate mental representation – a schema – that will be stored effectively in long-term memory.” Dabei beschreibt CLT den Gebrauch der Ressourcen des Arbeitsspeichers des Gehirns während des Lernens und Problemlösens. Eine weitere Theorie, die Einfluss auf die Gestaltung von Simulationen hat, ist die cognitive theory of multimedia learning (CTML). Diese beschreibt und erklärt das sinnvolle Lernen mit gesprochenen oder geschriebenen Texten und statischen Bildern (Illustrationen, Landkarten, Diagramme, etc.) oder dynamischen Bildern (Animationen, Videos, etc.). Insgesamt werden in der Theorie drei Annahmen vereint:

• dual-channel assumption: In der dual-channel assumption wird davon ausgegangen, dass bildhafte und verbale Repräsentationen von Informationen in zwei separaten Systemen verarbeitet werden. Im Grunde funktionieren diese Systeme unabhängig, können jedoch interagieren.
• limited capacity assumption: Wie der Name schon sagt, wird bei der limited capacity assumption angenommen, dass die Informationsverarbeitungs-Kapazität in den beiden genannten Systemen limitiert ist.
• active learning assumption: Um ein sinnvolles Lernen zu erreichen, müssen sich die Lernenden aktiv mit der Verarbeitung der Informationen auseinandersetzen.

Die CLT und die CTML haben einige Verbindungspunkte und können nicht exakt voneinander getrennt werden (Stiller 2007, 11:47–59; Stiller 2018, 1743).

[Interaktionsmöglichkeiten]Diese beiden kognitiven Theorien zeigen exemplarisch auf, dass die Gestaltung von Simulationen in den Lernprozess eingreifen kann. Die sechs Interaktionsmöglichkeiten versuchen die möglichen Variationen, welche in den Simulationen vorhanden sind, zu fassen. Um diese Interaktionsmöglichkeiten nachzuvollziehen, werden sie anhand eines 2000-fachen Würfelwurfs beschrieben:

• Variation der Anzahl der Modellelemente: Hier können bestimmte Elemente variiert werden, beispielsweise die Seitenanzahl des Würfels, die Anzahl der Würfe oder die Anzahl der Würfel.
• Variation der Eigenschaften der Modellelemente: Es kann direkter Einfluss auf die Eigenschaften der Elemente genommen werden. Beim Würfel wird die Würfelgeometrie verändert und Symmetrien werden aufgebrochen.
• Variation der Beziehung zwischen Modellelementen: Beim Würfelwurf kann die Anordnung der sechs gleich großen Seiten verändert werden. Es wäre beispielsweise denkbar, dass ein Sechseckprisma statt einem Würfel gerollt wird.
• Variation der Beziehung zwischen Modell und Modellumwelt: In dieser Möglichkeit können die Randbedingungen verändert werden. Eine Variation wäre, dass der Würfel auf verschiedenen Untergründen (Teppich, Holzboden, etc.) geworfen wird.
• Variation des Modellzwecks: Beim Modellzweck kann die Fragestellung geändert werden. Man könnte die Frage “Wie weit rollt ein Würfel beim 2000-fachen Werfen?” stellen.
• Variation der Modellannahme: Statt des Modells eines fairen Würfels könnte ein gezinkter Würfel (durch andere Massenverteilung) gewählt werden.

Bei diesen Interaktionsmöglichkeiten werden weder die technische Umsetzbarkeit noch die Sinnhaftigkeit im jeweiligen Kontext in den Vordergrund gestellt. Es geht um die aus der Theorie abgeleiteten sechs Interaktionsmöglichkeiten (Wörler 2018a, 38–40)

[Interaktionsgrad]Für eine Simulation lässt sich dann eruieren, welche der Interaktionsmöglichkeiten tatsächlich implementiert wurden. Diese Anzahl wird dann als Interaktionsgrad bezeichnet und gibt an, inwieweit der Nutzer mit der Simulation interagieren kann (Wörler 2018b, 1050). Das heißt, der Interaktionsgrad ist ein ordinales, nicht-metrisches Merkmal (\(i \in \mathbb{N}_0\)), welches iterativ definiert wird: “Mit jedem Freiheitsgrad, den eine Umsetzung dem Benutzer zusätzlich erlaubt, erhöht sich der Interaktionsgrad um den Wert 1, also (\(i \rightarrow i + 1\))” (Wörler 2018a, 43). Aber auch Animationen lassen sich mit dem Interaktionsgrad klassifizieren, da sich beispielsweise ein Video anhalten lässt. Aus diesem Grund sind Animationen zwischen Interaktionsgrad 0 und 1 angesiedelt, wie Abb. 4.1 zeigt (Wörler 2018b, 1050).

Figure 4.1: Interaktionsgrad zur Unterscheidung von Simulationen (vgl. Wörler 2018b)

[externe Repräsentation]Mithilfe der externen Repräsentationen kann das Modell noch weiterentwickelt werden. Bei Computersimulationen erfolgt die Ausgabe und die Eingabe direkt am Rechner (in den meisten Fällen am Bildschirm). Dabei können verschiedene Repräsentationen mathematischer Größen und Zusammenhänge auftreten. Beispielsweise graphische oder tabellarische Elemente sowie dynamisch-ikonisch nachgebildete physikalisch-reale Modelle. Laut der Fachdidaktik haben diese Repräsentationsformen einen Einfluss auf das Lernen und Verstehen von Mathematik. Daraus folgt, dass die Simulationen auch nach ihren externen Repräsentationen differenziert werden können. Beispielsweise kann dies anhand des EIS-Prinzip von Bruner geschehen. Dabei wird zwischen den Formen analog- vs. schematisch-enaktiv-virtuell, analog- vs. schematisch-ikonisch sowie verbal- vs. nonverbal-symbolisch unterschieden (Wörler 2018b, 1051).

[Analyse von Simulationen]Das Konzept der Interaktionsmöglichkeiten kann auch allgemein zur Analyse von Simulationen genutzt werden, da es einen differenzierten Blick auf die möglichen Variationen erlaubt. Mit dem Konzept kann jedes Steuerelement einer Simulation im Hinblick auf seine Funktion analysiert werden. Dabei wird beleuchtet, welche Interaktion dem User mit der Simulation möglich ist (Wörler 2018a, 40–41). Beispielsweise lässt sich zur Analyse ein Bogen benutzen, welcher ausschließlich die beobachtbaren Elemente der Bildschirmausgabe erfasst. Wörler (2018c) schlägt den Bogen aus Abb. 4.2 zur Analyse vor.

Figure 4.2: Analyseschema mit Interaktionsgrad und externen Repräsentationen

[Planung von Simulationen]Eine weitere Möglichkeit des Einsatzes der Interaktionsmöglichkeiten ist die Planung von Simulationen. Das Konzept der Interaktionsmöglichkeiten liefert eine Orientierung für die Simulation, da es Ankerpunkte vorgibt, an denen eine Variation möglich ist. Hilfreiche Fragen können dabei sein:

• Wie kann die Variation in diesem Modell umgesetzt werden?
• Welche Auswirkungen ergeben sich innermathematisch oder realweltlich?
• Wie ist diese Variation technisch realisierbar?
• Welche neuen Einblicke in die Mathematik liefert diese Variation?

“Das Konzept der Interaktionsmöglichkeiten gibt hier also Hinweise darauf, welche Fragen mit der gewählten Umsetzung untersucht werden können und welche Grenzen durch die Wahl des Modells bzw. der Software gesetzt sind” (Wörler 2018a, 42–43).