Kapitel 1 Einleitung

[Relevanz des Themas]“‘Even the stupidest man knows by some instinct of nature per se and by no previous instruction’ that the greater the number of confirming observations, the surer the conjecture” (Sedlmeier und Gigerenzer 1997, 33). Diese Aussage formulierte Bernoulli betreffend der abnehmenden Variabilität bei höheren Stichprobenumfängen. Studien zeigen auf, dass dieser Zusammenhang nur in wenigen Fällen ohne Instruktion entdeckt wird. In der Studie von Aspinwall und Tarr (2001) zeigten fünf von sechs SchülerInnen ein begrenztes Bewusstsein für den Zusammenhang der frequentistischen Wahrscheinlichkeit und dem Stichprobenumfang. Weiters zeigten fünf von sechs SchülerInnen kein Bewusstsein für den Zusammenhang der frequentistischen und der theoretischen Wahrscheinlichkeit (Aspinwall und Tarr 2001, 233). Jedoch stellt nicht nur das empirische Gesetz der großen Zahlen die SchülerInnen vor Probleme, sondern auch die Konfidenzintervalle. Seit der Einführung der Zentralmatura in Österreich scheinen im Bereich der Stochastik auch Missstände auf (Winkler 2016, 142).

[Lehrplanbezug]Im Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik der standardisierten schriftlichen Reifeprüfung in Mathematik wird angeführt, dass grundlegende Wahrscheinlichkeitsinterpretationen und grundlegende Begriffe (Zufallsgröße, Erwartungswert, Standardabweichung etc.) behandelt werden müssen. Die Konfidenzintervalle werden als eines der grundlegenden Konzepte der schließenden Statistik benannt. Bei den Konfidenzintervallen liegt der Fokus auf der kontextabhängigen Interpretation beziehungsweise Deutung der Ergebnisse und nicht auf der Berechnung derselben (Aue u. a. 2019, 14). Anhand des Lehrplans für allgemeinbildende höhere Schulen, soll noch exemplarisch Bezug zum Bereich Wahrscheinlichkeit und Statistik genommen werden. Im sechsten Semester (Kompetenzmodul 6, Klasse 7) ist beim Unterpunkt Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen angeführt, dass der Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten zu kennen und den Erwartungswert sowie die Standardabweichung kennen und deuten können. Weiters soll der Binomialkoeffizient und insbesondere die Binomialverteilung im Unterricht behandelt werden. Im nächsten Semester (Kompetenzmodul 7, Klasse 8) werden diese Inhalte vertieft und auf Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen; beurteilende Statistik erweitert. In diesem Unterpunkt sollen unter anderem die Normalapproximation der Binomialverteilung und Konfidenzintervalle ermittelt werden (RIS 2019).

[Zugang zum Problem]Um beispielsweise die Inhalte der 8. Klasse AHS verstehen zu können, muss eine gute Basis vorhanden sein. Diese Basis kann unter anderem durch unterschiedliche Zugänge zum Zufall geschaffen werden. Basieren kann ein solcher Zugang auf dem empirischen Gesetz der großen Zahlen, welches auch in den sample size effect mit hineinspielt. Um adäquate Grundvorstellungen bei den SchülerInnen auszubilden, werden beispielsweise von Riemer (1991) oder Biehler und Prömmel (2013) Stufenmodelle vorgeschlagen. Durch die Stufenmodelle sollen durch die Betrachtung verschiedener Aspekte angemessene Vorstellungen bei den SchülerInnen entwickelt werden. Die Stufenmodelle werden mithilfe von Simulationen unterstützt.

[thematische Abgrenzung]Die Arbeit behandelt explizit das Stufenmodell von Biehler und Prömmel (2013). Da die Stufenmodelle von Simulationen begleitet und unterstützt werden, wird auch ein Fokus auf Simulationen, Interaktionsmöglichkeiten und den Interaktionsgrad zur Klassifizierung von Simulationen gelegt (Wörler 2018a). Der praktische Teil dieser Arbeit ist das Programmieren einer webbasierten App auf Basis des Stufenmodells von Biehler und Prömmel (2013). Somit gelingt eine gewinnbringende Verbindung von Mathematik und Informatik. Um dieses Thema abzurunden, wird die Softwareentwicklung ein weiterer Aspekt der Arbeit sein. Anhand der Kriterien der Softwareentwicklung und dem Softwareentwicklungsprozess (vgl. Sandhaus, Berg, und Knott 2014) wurde auch die App entwickelt.

[Zielsetzung]Die Zielsetzung der Arbeit teilt sich in eine theoretische und eine praktische Zielsetzung. Das praktische Ziel ist die Entwicklung einer webbasierten App mit R Shiny basierend auf dem Stufenmodell mit dem Hintergrund des Softwareentwicklungsprozesses. Um dieses Ziel zu erreichen, muss theoretische Vorarbeit geleistet werden. Dies beinhaltet die Auseinandersetzung mit dem Stufenmodell von Biehler und Prömmel (2013), den Simulationen und Interaktionsgraden (vgl. Wörler 2018a) und der Softwareentwicklung (vgl. Meyer 2018). Schlussendlich ist das Hauptziel eine App, welche adäquate Vorstellungen bei den SchülerInnen erzeugen soll.

[Aufbau der Arbeit]Die Arbeit ist in einen mathematischen und einen informatischen Teil eingeteilt. Zu Beginn werden Zugänge zu Zufall und Wahrscheinlichkeit beleuchtet, da diese Grundideen für die spätere Behandlung des Stufenmodells beinhalten. Der mathematische Teil wird dann durch die Betrachtung von Simulationen im Mathematikkontext abgerundet. Der informatische Teil der Arbeit konzentriert sich auf die Softwareentwicklung und die Entwicklung der webbasierten App.