Experimente mit Münzwürfen
Stell dir vor, dass Peter und Hanna jeweils eine Münze haben, diese werfen
und dann zählen, wie oft Kopf vorgekommen ist. Peter wirft die Münze zwanzig
Mal und Hanna zweihundert Mal. Dies wiederholen die beiden dreimal und berechnen
die relativen Häufigkeiten.
Welche Diagramme gehören vermutlich zu Peter und welche zu Hanna? Wie können wir darüber
eine Aussage machen? Wie sieht es bei anderen Wurfanzahlen aus?
Ausgehend von diesen Fragen soll mithilfe der App das Experiments des Münzwurfes
näher analysiert werden.
Die App basiert auf einem Stufenmodell von Biehler und Prömmel (2013) und kann unter folgendem
Link abgerufen werden:
Von ersten stochastischen Erfahrungen mit großen Zahlen bis zum 1/√n-Gesetz
Vergleich von zwei Serien
Hier werden zwei verschiedene Münzwurfserien einander gegenübergestellt. Die Serie 1 (rot)
kann mit dem Schieberegler von 5 bis 20 Münzwürfen eingestellt werden. Höhere Münzwurfanzahlen
sind in der Serie 2 (blau) möglich. Beim Versuch wird die Münze geworfen und gezählt, wie oft 'Kopf'
vorkommt. Dann wird die relative Häufigkeit berechnet und im Diagramm dargestellt.
Was macht die absolute Häufigkeit?
Eine Frage lautet also: 'Stabilisieren sich die absoluten Häufigkeiten bei häufiger Durchführung des Münzwurfs
um den Erwartungswert oder nicht?'
Wachsende Serie
Anstatt wieder zwei Serien zu vergleichen, liegt der Fokus hier auf einer wachsenden Serie.
Diese Serie wird immer weiter aufgebaut. Zuerst wird einmal die Münze geworfen, dann zweimal, usw.
bis die maximale Wurfanzahl erreicht wurde. Jedes Mal wird gezählt, wie oft die Münze auf Kopf
gefallen ist, dann die relative Häufigkeit berechnet und unten im Plot dargestellt.
relative Abweichung
Bei der relativen Abweichung wird die Differenz von der
relativen Häufigkeiten zur Wahrscheinlichkeit betrachtet.
Diese Differenzen stabilisieren sich um 0.
absolute Abweichung
Die Differenz der absoluten Häufigkeit zur Wurfanzahl wird
im Graph dargestellt. Die Werte weichen immer weiter von 0 ab.
Vergleich von drei Serien
Die wachsende Serie zeigte uns bereits, dass die theoretische Wahrscheinlichkeit
nicht immer erreicht wird. Dies nennt man Variation. Um diese Variation genauer zu
betrachten, vergleichen wird drei Münzwurfserien mit unterschiedlichen Anzahlen von Münzwürfen.
Was fällt dabei auf? Vor allem im Hinblick auf die theoretische Wahrscheinlichkeit für
'Kopf'?
Variation von mehreren Serien
Bereits bei einer wachsenden Serie wurde die Variation - vor allem
bei kleinen Münzwurfanzahlen - offensichtlich. Doch wie sieht diese
Variation bei höheren Münzwurfanzahlen aus? Um diese Frage zu
beleuchten, betrachten wir mehrere Würfelserien im unteren Graph:
Mithilfe der Eingabe von n können die relativen Häufigkeiten der einzelnen Serien
genauer betrachtet werden.
Mehrfache Wiederholung von Wurfserien
Durch die Betrachtung von verschiedenen Serien können wieder
die Schwankungen (Variation) betrachtet werden. In der Grafik sind
die Schwankungen eingezeichnet.
Woran liegt es, dass diese
Schwankungen gering oder hoch sind? Wie kann man das erklären?
In der Tabelle werden die relativen Häufigkeiten pro Serie noch einmal
angegeben.
Vergleichen von zwei Serien
Die Streuung der relativen Häufigkeiten um die theoretische Wahrscheinlichkeit
kann mithilfe von Serie 1 und Serie 2 nochmals verglichen werden. In den Histogrammen
wurden bereits mittlere Bereiche, in welchen die relativen Häufigkeiten liegen,
eingezeichnet. Standardmäßig ist ein Bereich eingestellt, in welchem die
mittleren 95 Prozent der relativen Häufigkeiten liegen.
tabellarischer Vergleich
In der Tabelle sind die untere und obere Grenze des Bereichs (Quantile)
und die Länge des Bereichs (Differenz der Quantile).
Vergleich der Quantile
Kann man aus dem Vergleich der Quantile einen Schluss ziehen?
Funktionaler Zusammenhang
Aus der letzten Stufe könnte man vermuten, dass die Differenz der
Quantile mit dem Stichprobenumfang (den Münzwürfen) zusammenhängt.
Im unteren Graph wird die Differenz der Quantile zum Stichprobenumfang
dargestellt. Die Werte für die Quantile,
den Stichprobenumfang, Wahrscheinlichkeit, etc. sind aus Stufe
3.1 übernommen.
Möglicherweise gibt es eine Funktion, welche die
eingezeichneten Punkten gut annähert.
Theoretische Analyse
Beispiel
Im Beispiel wird noch gezeigt, wie gültig die Faustregel in
praktischen Versuchen ist. In rot sind die Quantile eingezeichnet.
Das nähert sich gut den Quantilen aus dem Versuch an.