Willkommen auf 'Mathe mit Bruno'
Hallo ich bin Bruno!
In dieser App findest du viele Übungsmöglichkeiten im Unterrichtsfach Mathematik. Momentan gibt es einiges zu den Bruchzahlen und den Prozentzahlen zu entdecken...
Ich bin hier, um dier Tipps zu geben, die Aufgaben näher zu erklären oder um ein bisschen zu helfen. Gemeinsam können wir alle Aufgaben lösen. Du wirst sehen, dass du am Ende alles ganz leicht lösen kannst.
Erklärung zu den Buttons
Wenn du bei einer Aufgabe auf diesen Button klickst, dann bekommst du eine Erklärung zur Aufgabe. Schritt für Schritt erkläre ich dir, wie man solche Aufgaben lösen kann. Aber ich verrate die Lösung natürlich nicht direkt.
Wenn du auf diesen Button klickst dann bekommst du von mir Hilfe bei der Aufgabe. Das kann sein, dass ich dir die Aufgabe direkt erkläre oder dass ich die Aufgabe etwas einfacher mache.
Damit du möglichst viel üben kannst, bekommst du bei Klick auf diesen Button immer eine neue Aufgabe. So gehen dir nie die Übungsmöglichkeiten aus.
Bei Klick auf diesen Button wird deine Lösung überprüft und du bekommst Feedback, ob deine Lösung richtig war.
Erklärung zu den Icons
Der Bleistift kennzeichnet immer die Angabe der Aufgabe.
Das Fragezeichen kennzeichnet Fragen, über welche du nachdenken solltest.
Das ist für deine Lehrerin oder deinen Lehrer. Hier werden die Aufgaben noch didaktisch beschrieben.
Brüche auf dem Zahlenstrahl
Zahlen wie 2, 5 oder 31 können wir uns gut vorstellen und finden diese auch schnell auf dem Zahlenstrahl, aber wie sieht es mit Bruchzahlen, wie \(\frac{2}{3}\) oder \(\frac{5}{7}\) aus?Wo ist die Zahl am Zahlenstrahl?
In der folgenden Aufgabe hast du einen Bruch gegeben und einen Zahlenstrahl. Das Ziel ist, dass du den Bruch möglichst genau auf dem Zahlenstrahl einzeichnest. Dafür klickst du einfach auf den Zahlenstrahl, wo der Bruch sein sollte. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Einen neuen Bruch bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit Brüchen und dem Zahlenstrahl funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Zahlenstrahl
Wenn wir uns das Beispiel \(\frac{3}{4}\) ansehen, überlegen wir zuerst, ob die Bruchzahl zwischen 0 und 1 oder zwischen 1 und 2 zu finden ist. Wir wissen, dass \(\frac{3}{4}\) kleiner als 1 ist. Da wir von den vier Teilen nur 3 betrachten. Das bedeutet, dass wir den Bruch am Zahlenstrahl zwischen 0 und 1 finden werden. Da der Bruch \(\frac{3}{4}\) gesucht ist, teilen wir den Zahlenstrahl zwischen 0 und 1 in vier Teile auf. Wir möchten aber nicht nur ein Viertel, sondern \(\frac{3}{4}\). Deshalb zählen wir noch drei Teilstücke ab und kommen dadurch auf \(\frac{3}{4}\)
Bei Klick auf 'Hilfe' werden die Unterteilungen für dich übernommen und du kannst die gesuchte Bruchzahl leichter am Zahlenstrahl einzeichnen.
Gleiche Zahlen?!
Ist dir bei der oberen Aufgabe aufgefallen, dass manche Brüche am Zahlenstrahl an der selben Stelle eingezeichnet werden, obwohl der Bruch vollkommen anders aussah? Ein Beispiel dafür ist \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{4}{6}\). Aber ist das das einzige Beispiel, das es gibt?Mit dem Schieberegler kannst du weitere Brüche am Zahlenstrahl einfügen und untersuchen, ob wir noch weitere Beispiele finden.
Was bedeutet es, wenn zwei Brüche an der gleichen Stelle des Zahlenstrahls sind?
Erklärung - gleiche Zahlen
Bis jetzt war es immer klar, dass jede Zahl nur einmal auf dem Zahlenstrahl gefunden werden kann. Zum Beispiel konnten 1, 5 oder auch 25 einfach am Zahlenstrahl markiert werden. Es war auch deshalb einfach, da jede natürliche Zahl nur an einer Stelle auf dem Zahlenstrahl vorkommt.
Ein großer Unterschied zwischen den Bruchzahlen und den Zahlen, die du bis jetzt kennengelernt hast, ist, dass eine Zahl durch unterschiedliche Brüche beschrieben werden kann. Genau das ist der Fall, wenn mehrere Brüche an der gleichen Stelle am Zahlenstrahl sind.
Als Beispiel suchen wir uns die Zahl 'Eins' aus. Bis jetzt war es klar, dass 'Eins' in Mathe als 1 geschrieben wird. Mit den Bruchzahlen bekommen wir aber ganz viele neue Möglichkeiten: 1 = \(\frac{1}{1}\) = \(\frac{2}{2}\) = \(\frac{7}{7}\) = \(\frac{15}{15}\) = \(\frac{100}{100}\).Bei den Bruchzahlen muss man also besonders acht geben, wo diese am Zahlenstrahl sind und ob diese vielleicht die gleiche Zahl beschreiben.
Es ist wichtig sich zu merken, dass Brüche zwar unterschiedlich aussehen, aber die gleiche Zahl beschreiben können.
Denkanstoß
Bis jetzt musste die Frage 'Was bedeutet es, wenn zwei Brüche an der gleichen Stelle des Zahlenstrahls sind?' nie gestellt werden. Denn alle Zahlen, die wir bis jetzt kennengelernt haben, kommen am Zahlenstrahl nur einmal vor.
Aber warum können zwei verschiedene Brüche die gleiche Zahl sein? Als Hilfe für dich sind drei Kreise dargestellt, welch in unterschiedliche Brüche aufgeteilt wurden. Was fällt dir dabei auf?
Warum ist immer der gleiche Anteil vom Kreis markiert, obwohl die Brüche \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{4}{8}\) sind?Kann das mit der Größe der Stücke zusammenhängen? Und was bedeutet es dann, wenn zwei Brüche an der gleichen Stelle des Zahlenstrahls sind?
Lösung
Wenn sich zwei Brüche an der gleichen Stelle am Zahlenstrahl befinden, bedeutet das, dass es die gleichen Zahlen sind. Denn Brüche können zwar unterschiedlich aussehen, aber die gleiche Zahl beschreiben. Das ist einer der großen Unterschiede zu den Zahlen, die wir bis jetzt kennenglernt haben.
Brüche auf dem Zahlenstrahl
Zahlen wie 2, 5 oder 31 können wir uns gut vorstellen und finden diese auch schnell auf dem Zahlenstrahl, aber wie sieht es mit Bruchzahlen, wie \(\frac{2}{3}\) oder \(\frac{5}{7}\) aus?Wo ist die Zahl am Zahlenstrahl?
In der folgenden Aufgabe hast du einen Bruch gegeben und einen Zahlenstrahl. Das Ziel ist, dass du den Bruch möglichst genau auf dem Zahlenstrahl einzeichnest. Dafür klickst du einfach auf den Zahlenstrahl, wo der Bruch sein sollte. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Einen neuen Bruch bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit Brüchen und dem Zahlenstrahl funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Zahlenstrahl
Wenn wir uns das Beispiel \(\frac{3}{4}\) ansehen, überlegen wir zuerst, ob die Bruchzahl zwischen 0 und 1 oder zwischen 1 und 2 zu finden ist. Wir wissen, dass \(\frac{3}{4}\) kleiner als 1 ist. Da wir von den vier Teilen nur 3 betrachten. Das bedeutet, dass wir den Bruch am Zahlenstrahl zwischen 0 und 1 finden werden. Da der Bruch \(\frac{3}{4}\) gesucht ist, teilen wir den Zahlenstrahl zwischen 0 und 1 in vier Teile auf. Wir möchten aber nicht nur ein Viertel, sondern \(\frac{3}{4}\). Deshalb zählen wir noch drei Teilstücke ab und kommen dadurch auf \(\frac{3}{4}\)
Bei Klick auf 'Hilfe' werden die Unterteilungen für dich übernommen und du kannst die gesuchte Bruchzahl leichter am Zahlenstrahl einzeichnen.
Gleiche Zahlen?!
Ist dir bei der oberen Aufgabe aufgefallen, dass manche Brüche am Zahlenstrahl an der selben Stelle eingezeichnet werden, obwohl der Bruch vollkommen anders aussah? Ein Beispiel dafür ist \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{4}{6}\). Aber ist das das einzige Beispiel, das es gibt?Mit dem Schieberegler kannst du weitere Brüche am Zahlenstrahl einfügen und untersuchen, ob wir noch weitere Beispiele finden.
Was bedeutet es, wenn zwei Brüche an der gleichen Stelle des Zahlenstrahls sind?
Erklärung - gleiche Zahlen
Bis jetzt war es immer klar, dass jede Zahl nur einmal auf dem Zahlenstrahl gefunden werden kann. Zum Beispiel konnten 1, 5 oder auch 25 einfach am Zahlenstrahl markiert werden. Es war auch deshalb einfach, da jede natürliche Zahl nur an einer Stelle auf dem Zahlenstrahl vorkommt.
Ein großer Unterschied zwischen den Bruchzahlen und den Zahlen, die du bis jetzt kennengelernt hast, ist, dass eine Zahl durch unterschiedliche Brüche beschrieben werden kann. Genau das ist der Fall, wenn mehrere Brüche an der gleichen Stelle am Zahlenstrahl sind.
Als Beispiel suchen wir uns die Zahl 'Eins' aus. Bis jetzt war es klar, dass 'Eins' in Mathe als 1 geschrieben wird. Mit den Bruchzahlen bekommen wir aber ganz viele neue Möglichkeiten: 1 = \(\frac{1}{1}\) = \(\frac{2}{2}\) = \(\frac{7}{7}\) = \(\frac{15}{15}\) = \(\frac{100}{100}\).Bei den Bruchzahlen muss man also besonders acht geben, wo diese am Zahlenstrahl sind und ob diese vielleicht die gleiche Zahl beschreiben.
Es ist wichtig sich zu merken, dass Brüche zwar unterschiedlich aussehen, aber die gleiche Zahl beschreiben können.
Denkanstoß
Bis jetzt musste die Frage 'Was bedeutet es, wenn zwei Brüche an der gleichen Stelle des Zahlenstrahls sind?' nie gestellt werden. Denn alle Zahlen, die wir bis jetzt kennengelernt haben, kommen am Zahlenstrahl nur einmal vor.
Aber warum können zwei verschiedene Brüche die gleiche Zahl sein? Als Hilfe für dich sind drei Kreise dargestellt, welch in unterschiedliche Brüche aufgeteilt wurden. Was fällt dir dabei auf?
Warum ist immer der gleiche Anteil vom Kreis markiert, obwohl die Brüche \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{4}\) und \(\frac{4}{8}\) sind?Kann das mit der Größe der Stücke zusammenhängen? Und was bedeutet es dann, wenn zwei Brüche an der gleichen Stelle des Zahlenstrahls sind?
Lösung
Wenn sich zwei Brüche an der gleichen Stelle am Zahlenstrahl befinden, bedeutet das, dass es die gleichen Zahlen sind. Denn Brüche können zwar unterschiedlich aussehen, aber die gleiche Zahl beschreiben. Das ist einer der großen Unterschiede zu den Zahlen, die wir bis jetzt kennenglernt haben.
Allgemein
In vielen Fällen betrachten Schüler*innen Bruchzahlen nicht als holistische Zahlen, sondern interpretieren Zähler und Nenner gesondert (Braithwaite und Siegler 2018; Reinhold 2019, S. 43). Diese getrennte Betrachtungsweise fällt laut den Autoren unter den Natural Number Bias (NNB) Eine robuste Repräsentation von Brüchen auf der Zahlengerade kann die holistische Betrachtungsweise jedoch unterstützen (Alibali und Sidney 2015). Padberg und Wartha (2017, S. 19-21) und Reinhold (2019, S. 36) sprechen von einem Skalenwert, wenn Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl verwendet werden. Auch Feijs et al. (2008, S. 75) sprechen sich für die Verwendung eines Zahlenstrahls aus.
Aufgabe 1
Die erste Aufgabe soll verdeutlichen, dass es sich bei rationalen Zahlen immer noch um Zahlen handelt. Aus diesem Grund wird der bereits bekannte Zahlenstrahl zur Visualisierung herangezogen. Dadurch sollen die rationalen Zahlen in ein bereits bekanntes Konzept eingebettet werden. Außerdem ist somit auch eine tragfähige Weiterverwendung für die reellen Zahlen gegeben. Durch das Einzeichnen auf einen Zahlenstrahl müssen die Schüler*innen die Bruchzahl holisitisch betrachten, da eine getrennte Interpretation von Zähler und Nenner nicht zielführend ist. Am Zahlenstrahl ist ersichtlich, dass nicht nur Bruchzahlen zwischen 0 und 1 betrachtet werden, sondern auch Brüche > 1. Dies soll den Schüler*innen ermöglichen, dass sie einerseits nicht nur Brüche kleiner 1 zuordnen können und andererseits auch 'unechte' Brüche als Bruchzahlen erkennen.
Die Bruchzahlen werden randomisiert generiert und liegen immer zwischen 0 und 2. Die Schüler*innen haben dadurch eine große Anzahl an Übungsmöglichkeiten. Der Button 'Erklärung' beschreibt das Vorgehen für das Einzeichnen von Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl anhand eines statischen Beispiels. Trotz dieser Erklärung müssen die Schüler*innen beim Einzeichnen noch selbstständig denken. Eine mögliche Hilfestellung ( 'Hilfe' ) ist durch das Einzeichnen der Unterteilungen des jeweilig geforderten Bruches gegeben.
Aufgabe 2
Bei der zweiten Aufgabe handelt es sich um eine Denkaufgabe. Es gibt daher nur diesen einen Kontext, in welchen sich die Schüler*innen überlegen sollen, was es bedeutet, dass mehrere Brüche an derselben Stelle des Zahlenstrahls stehen können. Dies soll vor allem die Diskontinuität zwischen der eindeutigen Zahldarstellung der natürlichen Zahlen und den multiplen Repräsentationsmöglichkeiten von rationalen Zahlen nach Prediger (2007) aufzeigen. Durch diese Darstellung kann laut Padberg und Wartha (2017, S. 37) das Äquivalenzklassenkonzept implizit mitbedacht werden. Da sich die formal korrekte Einführung der rationalen Zahlen im Schulunterricht eher weniger eignet, könnte durch die Darstellung der Klassenbildung am Zahlenstrahl der Denkanstoß in Richtung der Äquivalenzklassen initiiert werden. Das Verstehen der Gleichheit von Brüchen ist ein wesentlicher Faktor für die Rechenoperationen sowie beim Kürzen und Erweitern. Viele Fehler in diesen Bereichen lassen sich auf Unverständnis gegenüber der Gleichheit von Brüchen zurückführen.
Literatur
Alibali, Martha W., und Pooja G. Sidney. 2015. „Variability in the natural number bias: Who, when, how, and why“. Learning and Instruction 37: 56–61. doi:10.1016/j.learninstruc.2015.01.003.
Braithwaite, David W., und Robert S. Siegler. 2018. „Developmental changes in the whole number bias“. Developmental science 21 (2). doi:10.1111/desc.12541.
Feijs, Els, Nisa Figueiredo, K. Gravemeijer, Els van Herpen, und Ronald Keijzer. 2008. Fractions, Percentages, Decimals and Proportions: A Learning- Teaching Trajectory for Grade 4, 5 and 6. Bd. v.3. Dutch Design in Mathematics Education. Dordrecht: Sense Publishers. https://ebookcentral.proquest.com/lib/gbv/detail.action?docID=5313335.
Padberg, Friedhelm, und Sebastian Wartha. 2017. Didaktik der Bruchrechnung. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-662-52969-0.
Prediger, Susanne. 2007. „Konzeptwechsel in der Bruchrechnung - Analyse individueller Denkweise aus konstruktivistischer Sicht“. In Beiträge zum Mathematikunterricht 2007, 203–6. Hildesheim: Franzbecker.
Reinhold, Frank. 2019. Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive: Eine empirische Studie in Jahrgangsstufe 6. [1. Auflage]. Research. Wiesbaden, Germany: Springer Spektrum.
Verkleinern und Vergrößern
Das Multiplizieren mit ganzen Zahlen hast du bereits kennengelernt. Multipliziert man eine Ausgangszahl (größer als 0) mit einer natürlichen Zahl (größer als 1), ist das Ergebnis immer größer als die Ausgangszahl. Wenn beispielsweise mit 3 oder 25 multipliziert wird, wird das Ergebnis immer größer. Aber wie sieht es bei der Multiplikation mit Bruchzahlen, wie \(\frac{2}{3}\) oder \(\frac{5}{7}\) aus?In der folgenden Aufgabe hast du ein Bild von Bruno (links) gegeben. Dieses Bild wird skaliert, das bedeutet es wird verkleinert oder vergrößert. Beim Skalieren werden die Seitenlängen des Bildes mit einfem Faktor multipliziert. Das skalierte Bild wird auf der rechten Seite dargestellt. Deine Aufgabe ist es, den richtigen Skalierungsfaktor (Zahl mit der multipliziert wurde) auszuwählen. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Eine neue Aufgabe bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit dem Multiplizieren mit Brüchen funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Mit welchem Faktor wurde das rechte Bild von Bruno skaliert?
Erklärung - Verkleinern und Vergrößern
Sehen wir uns jetzt noch die Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) an: Wir nehmen uns einfach ein Rechteck und wollen die Seitenlängen mit \(\frac{4}{3}\) skalieren (vergrößern). Dazu teilen wir das Rechteck in der Länge und in der Breite in drei Teile. Nach dieser Unterteilung müssen wir noch \(\frac{1}{3}\) hinzufügen, da wir ansonsten nicht vier Stücke nehmen können. Wir nehmen uns sowohl von der Breite als auch von der Länge vier Stücke. Danach wissen wir, wie groß das Rechteck nach der Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) ist. Das bedeutet, dass die Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) vergrößert!
Bei Klick auf 'Hilfe' werden die Unterteilungen für dich übernommen und du kannst den Skalierungsfaktor (Zahl mit der multipliziert wird) leichter finden.
Verkleinern und Vergrößern
Das Multiplizieren mit ganzen Zahlen hast du bereits kennengelernt. Multipliziert man eine Ausgangszahl (größer als 0) mit einer natürlichen Zahl (größer als 1), ist das Ergebnis immer größer als die Ausgangszahl. Wenn beispielsweise mit 3 oder 25 multipliziert wird, wird das Ergebnis immer größer. Aber wie sieht es bei der Multiplikation mit Bruchzahlen, wie \(\frac{2}{3}\) oder \(\frac{5}{7}\) aus?In der folgenden Aufgabe hast du ein Bild von Bruno (links) gegeben. Dieses Bild wird skaliert, das bedeutet es wird verkleinert oder vergrößert. Beim Skalieren werden die Seitenlängen des Bildes mit einfem Faktor multipliziert. Das skalierte Bild wird auf der rechten Seite dargestellt. Deine Aufgabe ist es, den richtigen Skalierungsfaktor (Zahl mit der multipliziert wurde) auszuwählen. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Eine neue Aufgabe bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit dem Multiplizieren mit Brüchen funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Mit welchem Faktor wurde das rechte Bild von Bruno skaliert?
Erklärung - Verkleinern und Vergrößern
Sehen wir uns jetzt noch die Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) an: Wir nehmen uns einfach ein Rechteck und wollen die Seitenlängen mit \(\frac{4}{3}\) skalieren (vergrößern). Dazu teilen wir das Rechteck in der Länge und in der Breite in drei Teile. Nach dieser Unterteilung müssen wir noch \(\frac{1}{3}\) hinzufügen, da wir ansonsten nicht vier Stücke nehmen können. Wir nehmen uns sowohl von der Breite als auch von der Länge vier Stücke. Danach wissen wir, wie groß das Rechteck nach der Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) ist. Das bedeutet, dass die Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) vergrößert!
Bei Klick auf 'Hilfe' werden die Unterteilungen für dich übernommen und du kannst den Skalierungsfaktor (Zahl mit der multipliziert wird) leichter finden.
Allgemein
Die Zahlbereichserweiterung der natürlichen Zahlen zu den rationalen Zahlen verändert einige der Grundvorstellungen bezüglich der Rechenoperationen (Reinhold und Reiss 2020). Dazu gehört vor allem die Fehlvorstellung, dass die Multiplikation immer vergrößert. Diese fehlerhafte Vorstellung fällt laut Christou et al. (2020) und Roell et al. (2017) unter den Natural Number Bias (NNB) . Basierend auf der Arbeit von Prediger (2008) wird der Aspekt des Vergrößern und Verkleinerns herangezogen, um eine Kontinuität zwischen den natürlichen Zahlen und den rationalen Zahlen zu finden.
Aufgabe
Die Aufgabe soll die Aussage 'Multiplikation vergrößert immer' relativieren. Auf Basis der Vorerfahrung der Schüler*innen mit ganzen und natürlichen Zahlen ist diese Vorstellung korrekt. Da es sich dabei aber um eine Diskontinuität zwischen den natürlichen und den rationalen Zahlen handelt, ist diese Vorstellung nicht mehr tragfähig. Die Aufgabe soll zeigen, dass die Multiplikation mit rationalen Zahlen sowohl vergrößern als auch verkleinern kann. Dabei stellt der Aspekt des Vergrößerns eine Kontinuität zwischen den rationalen Zahlen und den natürlichen Zahlen dar (Prediger, 2008).
Der Skalierungsfaktor der Aufgabe kann sowohl kleiner als auch größer 1 sein, sodass die Schüler*innen beide Fälle bearbeiten können. Das Bild auf der linken Seite gibt immer die originale Größe vor und das Bild rechts muss dazu ins Verhältnis gesetzt werden. Implizit wird also auch die Grundvorstellung des Bruchs als Verhältnis eingebettet. Die Skalierungsfaktoren können in Bruch- beziehungsweise Dezimalschreibweise gegeben sein, sodass die Schüler*innen die Schreibweisen nicht voneinander trennen und die Zahlen als unterschiedliche Bereiche ohne Berührungspunkte interpretieren.
Die Skalierungsfaktoren werden randomisiert generiert und liegen im Intervall (0,2). Dadurch entstehen eine große Anzahl an Übungsmöglichkeiten für die Schüler*innen. Der Button 'Erklärung' beschreibt das Vorgehen beim Erkennen des Skalierungsfaktors anhand zweier statischer Beispiele. Trotz dieser Erklärung müssen die Schüler*innen bei der Analyse noch selbstständig denken. Eine mögliche Hilfestellung ( 'Hilfe' ) ist durch das Umrahmen des Bildes und Hinzufügen einer Skalierung gegeben.
Literatur
Christou, Konstantinos P., Courtney Pollack, Jo van Hoof, und Wim van Dooren. 2020. „Natural number bias in arithmetic operations with missing numbers – A reaction time study“. Journal of Numerical Cognition 6 (1): 22–49. doi:10.5964/jnc.v6i1.228.
Prediger, Susanne. 2008. „The relevance of didactic categories for analysing obstacles in conceptual change: Revisiting the case of multiplication of fractions“. Learning and Instruction 18 (1): 3–17. doi:10.1016/j.learninstruc.2006.08.001.
Reinhold, Frank, und Kristina Reiss. 2020. „Anschauliche Wege zum Größenvergleich von Brüchen“. Zeitschrift für Mathematikdidaktik in Forschung und Praxis 1. https://zmfp.de/fileadmin/user_upload/veroeffentlichungen/ZMFP_2020_1_Reinhold_Reiss.pdf.
Roell, Margot, Arnaud Viarouge, Olivier Houdé, und Grégoire Borst. 2017. „Inhibitory control and decimal number comparison in school-aged children“. PloS one 12 (11): e0188276. doi:10.1371/journal.pone.0188276.
Anteil diskreter Ganzer
Das Aufteilen eines Kuchens oder einer Pizza in Drittel oder Viertel hast du bereits kennengelernt. Aber wie geht man nun vor, wenn man \(\frac{1}{3}\) oder \(\frac{5}{7}\) von einer Menge an Punkten markieren soll?In der folgenden Aufgabe hast du mehrere Punkte und einen Bruch gegeben. Deine Aufgabe ist es, den korrekten Anteil an Punkten zu markieren. Dazu kannst du einfach auf die Punkte klicken und wenn sich diese rot gefärbt haben, sind diese markiert. Wenn du mehrere Punkte gleichzeitig markieren möchtest, dann kannst du einen Linksklick machen und mit gedrückter linker Maustaste mehrere Punkte markieren (blaues Rechteck). Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Eine neue Aufgabe bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit dem Anteil funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Anteil diskreter Ganzer
Bei Klick auf 'Hilfe' wird eine jeweilige Gruppierung für dich übernommen und du kannst den Anteil leichter markieren
Anteil diskreter Ganzer
Das Aufteilen eines Kuchens oder einer Pizza in Drittel oder Viertel hast du bereits kennengelernt. Aber wie geht man nun vor, wenn man \(\frac{1}{3}\) oder \(\frac{5}{7}\) von einer Menge an Punkten markieren soll?In der folgenden Aufgabe hast du mehrere Punkte und einen Bruch gegeben. Deine Aufgabe ist es, den korrekten Anteil an Punkten zu markieren. Dazu kannst du einfach auf die Punkte klicken und wenn sich diese rot gefärbt haben, sind diese markiert. Wenn du mehrere Punkte gleichzeitig markieren möchtest, dann kannst du einen Linksklick machen und mit gedrückter linker Maustaste mehrere Punkte markieren (blaues Rechteck). Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Eine neue Aufgabe bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit dem Anteil funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Anteil diskreter Ganzer
Bei Klick auf 'Hilfe' wird eine jeweilige Gruppierung für dich übernommen und du kannst den Anteil leichter markieren
Allgemein
Padberg und Wartha (2017, S. 21) beschreiben, dass ein Bruch als Anteil eines Ganzen kontinuierlich oder diskret sein kann. Ein Ganzes und dessen Teile ist kontinuierlich, wenn sie zusammenhängend sind und sich selbst in weitere kleinere und zusammenhängende Einheiten unterteilen lassen (Schink und Meyer, 2013). Falls mehrere einzelne Objekte vorhanden sind, welche man zu einer Gruppe oder Menge zusammenfasst, nennt man das Ganze diskret (Schink und Meyer, 2013). Laut Cortina, Visnovska, und Zúniga (2014) ist die Anteilssicht der Bruchzahlen der offensichtlichste Weg, um tieferes Verständnis für die Bruchzahlen zu erreichen. Durch die einseitige Benutzung teilbarerer Objekte, wie Kuchen oder Pizza, wird dem Ansatz aber Limitationen auferlegt. Dies kann laut den Autoren dazu führen, dass Brüche nicht holistisch betrachtet werden.
Aufgabe
Fauzi und Suryadi (2020) sehen im fehlenden Verständnis des Bruches als Anteil eines (diskreten) Ganzes eine epistemologische Denkhürde. Die Aufgabe referenziert auf ein diskretes Ganzes und soll damit die Anteilsvorstellung nicht nur auf kontinuierliche Ganze beschränken.
Bei der Aufgabe erhalten die Schüler*innen einen randomisiert generierten Bruch und eine Menge an Punkten, wobei die Anzahl der Punkte ein Vielfaches des Nenners ist. Dadurch soll noch stärker auf das diskrete Ganze fokussiert werden, da nicht nur so viele Punkte markiert werden müssen, wie der Zähler vorgibt. Die Aufgabe fokussiert daher stark auf die Frage 'Was kann als Ganzes betrachtet werden?'
Der Bruch wird randomisert generiert, wobei der Zähler zwischen 2 und 12 liegt. Trotz dieser Einschränkung entstehen für die Schüler*innen eine Vielzahl an Übungsmöglichkeiten. Der Button 'Erklärung' beschreibt das Vorgehen beim Markieren des Anteils diskreter Ganzer anhand eines statischen Beispiels. Trotz dieser Erklärung müssen die Schüler*innen bei der Analyse noch selbstständig denken. Eine mögliche Hilfestellung ( 'Hilfe' ) ist durch das Gruppieren der Punkte gegeben.
Literatur
Cortina, José, Jana Visnovska, und Claudia Zúniga. 2014. „Equipartition as a didactical obstacle in fraction instruction“. Acta Didactica Universitas Comenianae 14 (12): 1–18.
Fauzi, Irfan, und Didi Suryadi. 2020. „Learning Obstacle the Addition and Subtraction of Fraction in Grade 5 Elementary Schools“. MUDARISSA: Jurnal Kajian Pendidikan Islam 12 (6): 50–67.
Padberg, Friedhelm, und Sebastian Wartha. 2017. Didaktik der Bruchrechnung. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-662-52969-0.
Schink, Andrea, und Michael Meyer. 2013. „Teile vom Ganzen - Brüche beziehungsreich verstehen“. PM: Praxis der Mathematik in der Schule 55 (52): 2–8.
Prozentwerte am Prozentstreifen
Beim Prozentrechnen haben wir den Grundwert (100%), den Anteil und den Prozentwert. Aber wie genau hängen diese drei Elemente zusammen?
In der folgenden Aufgabe hast du den Grundwert und den Prozentwert gegeben. Das Ziel ist, dass du den Anteil möglichst genau auf dem Prozentstreifen einzeichnest. Dafür klickst du einfach auf den Prozentstreifen, wo der Anteil sein sollte. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Einen neuen Bruch bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit dem Anteil funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützun gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Prozentstreifen
In der Prozentrechnung spielen Grundwert (G entspricht 100%), Prozentwert (p%) und der Anteil (A) eine große Rolle.
Wenn wir uns das Beispiel 75% von 60 ansehen, überlegen wir zuerst, welche Werte wir gegeben haben. In unserem Fall ist der Prozentwert (75%) und der Grundwert (60 entspricht 100%) gegeben. Wenn wir jetzt unseren Prozentstreifen näher betrachten, müssen wir zuerst die 100% finden.
Dann überlegen wir, ob der Anteil größer oder kleiner 60 sein wird. Wir wissen, dass 75% kleiner als 100% ist und daher wird der Anteil auch kleiner als 60 sein. Das bedeutet, dass wir den Anteil am Prozentstreifen zwischen 0 und 60 (0% und 100%) finden werden.
Jetzt müssen wir überlegen, wie wir den Anteil markieren können. Entweder wir rechnen uns das direkt aus (beispielsweise mit den Prozentformeln) oder wir versuchen es am Prozentstreifen zu lösen. Wir haben 100% bereits eingezeichnet und möchten 75% wissen. Dann können wir zum Beispiel den Bereich von 0% bis 75% in 25% große Stücke aufteilen. Da 25 + 25 + 25 = 75 ist. Alternativ gehen auch 5% oder 15%.
Durch die Einteilung müssen wir nur noch drei Teilstücke abzählen und erhalten die 75% von 60.
Bei Klick auf 'Hilfe' werden die Unterteilungen für dich übernommen und du kannst den Anteil leichter finden.
Prozentwerte am Prozentstreifen
Beim Prozentrechnen haben wir den Grundwert (100%), den Anteil und den Prozentwert. Aber wie genau hängen diese drei Elemente zusammen?
In der folgenden Aufgabe hast du den Grundwert und den Prozentwert gegeben. Das Ziel ist, dass du den Anteil möglichst genau auf dem Prozentstreifen einzeichnest. Dafür klickst du einfach auf den Prozentstreifen, wo der Anteil sein sollte. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Einen neuen Bruch bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit dem Anteil funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützun gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Prozentstreifen
In der Prozentrechnung spielen Grundwert (G entspricht 100%), Prozentwert (p%) und der Anteil (A) eine große Rolle.
Wenn wir uns das Beispiel 75% von 60 ansehen, überlegen wir zuerst, welche Werte wir gegeben haben. In unserem Fall ist der Prozentwert (75%) und der Grundwert (60 entspricht 100%) gegeben. Wenn wir jetzt unseren Prozentstreifen näher betrachten, müssen wir zuerst die 100% finden.
Dann überlegen wir, ob der Anteil größer oder kleiner 60 sein wird. Wir wissen, dass 75% kleiner als 100% ist und daher wird der Anteil auch kleiner als 60 sein. Das bedeutet, dass wir den Anteil am Prozentstreifen zwischen 0 und 60 (0% und 100%) finden werden.
Jetzt müssen wir überlegen, wie wir den Anteil markieren können. Entweder wir rechnen uns das direkt aus (beispielsweise mit den Prozentformeln) oder wir versuchen es am Prozentstreifen zu lösen. Wir haben 100% bereits eingezeichnet und möchten 75% wissen. Dann können wir zum Beispiel den Bereich von 0% bis 75% in 25% große Stücke aufteilen. Da 25 + 25 + 25 = 75 ist. Alternativ gehen auch 5% oder 15%.
Durch die Einteilung müssen wir nur noch drei Teilstücke abzählen und erhalten die 75% von 60.
Bei Klick auf 'Hilfe' werden die Unterteilungen für dich übernommen und du kannst den Anteil leichter finden.
Allgemein
Sowohl Gudladt (2021, 10) als auch Pöhler (2018, 16) sprechen von drei zentralen formalbezogenen Konzepte bei den Prozentzahlen beziehungsweise der Prozentrechnung. Dazu zählen der Grundwert, welcher das Ganze (100%) beschreibt, der Anteil und der Prozentwert (p%). Das Zusammenspiel dieser drei Konzepte ist eine wichtige Erkenntnis bezüglich des Verstehensprozess von Prozentzahlen. Die Vorstellung hinter dieser Aufgabe ist die Grundvorstellung der Prozente als Anteile . Laut Feijs et al. (2008, S. 93) wirkt sich die Verwendung von Prozentstreifen nicht nur bei dieser Grundvorstellung positiv aus, sondern auch für das Verstehen des Zusammenspiels der drei formalbezogenen Konzepte.
Aufgabe
Die Aufgabe soll einerseits das Zusammenspiel der drei formalbezogenen Konzepte als auch die Grundvorstellung Prozente als Anteile widerspiegeln. Aufgrund der Erkenntnisse von Feijs et al. (2008) wird der Prozentstreifen zur Visualisierung der Aufgabe verwendet. Hier ist es nicht nur möglich die Prozentwerte, sondern auch die Anteile und Grundwerte einzuzeichnen. Dadurch entsteht ein holistisches Bild. Ein weiterer Vorteil ist, dass der Prozentstreifen auch für Prozentwerte über 100% verwendet werden kann. Die Verwendung von Prozentwerten über 100% in dieser Aufgabe entspricht der Forderung von Pöhler (2018, S. 30). Da ansonsten die Grundvorstellung Prozente als Anteile oftmals dazu führt, dass Schüler*innen Prozentwerte über 100% nicht als solche anerkennen.
Der erhöhte Schwierigkeitsgrad ('schwierig') trägt nicht mehr den (vermehrten) Grundwert als maximalen Wert am Prozentstreifen ein, sondern generiert einen zufälligen höheren Wert. Dadurch müssen die Schüler*innen besonders auf den Grundwert achten. Diese Schwierigkeit wurde ausgewählt, da das Erkennen des Grundwertes beziehungsweise das Betrachten des Grundwerts für viele Schüler*innen Hürden beinhaltet.
Alle Angaben der Aufgaben werden randomisiert generiert, was den Schüler*innen eine große Menge an Übungsmöglichkeiten bietet. Der Button 'Erklärung' beschreibt das Vorgehen für die Analyse der Angabe und das Einzeichnen am Prozentstreifen anhand eines statischen Beispiels. Trotz dieser Erklärung müssen die Schüler*innen beim Einzeichnen noch selbstständig denken. Eine mögliche Hilfestellung ( 'Hilfe' ) ist durch das Einzeichnen von 10%-Schritten oder 10er-Schritten gegeben.
Literatur
Feijs, Els, Nisa Figueiredo, K. Gravemeijer, Els van Herpen, und Ronald Keijzer. 2008. Fractions, Percentages, Decimals and Proportions: A Learning- Teaching Trajectory for Grade 4, 5 and 6. Bd.v.3. Dutch Design in Mathematics Education. Dordrecht: Sense Publishers. https://ebookcentral.proquest.com/lib/gbv/detail.action?docID=5313335.
Gudladt, Paul. 2021. Inhaltliche Zugänge zu Anteilsvergleichen im Kontext des Prozentbegriffs: Theoretische Grundlagen und eine Fallstudie. Perspektiven der Mathematikdidaktik. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. doi:10.1007/978-3-658-32447-6.
Pöhler, Birte. 2018. Konzeptuelle und lexikalische Lernpfade und Lernwege zu Prozenten: Eine Entwichlungsforschungsstudie. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden. doi:10.1007/978-3-658-21375-6.
Grundwert, Anteil und Prozentwert
Beim Prozentrechnen haben wir den Grundwert (100%), den Anteil und den Prozentwert gegeben. Aber wie kann das dargestellt werden?
In der folgenden Aufgabe hast du zwei der drei Werte und drei verschiedene Prozentstreifen gegeben. Das Ziel ist, den Prozentstreifen auszuwählen, welcher in der Aufgabe beschrieben wird. Dafür klickst du einfach auf die kleine graue Box unter dem Prozentstreifen. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Eine neue Aufgabe bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit den Prozentstreifen und dem Grundwert, Anteil und Prozentwert funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Grundwert, Anteil und Prozentwert
In der Prozentrechnung spielen Grundwert (G entspricht 100%), Prozentwert (p%) und der Anteil (A) eine große Rolle.
Wenn wir uns das Beispiel 'Es sind 25% von 60 gegeben. Welcher der drei Prozentstreifen veranschaulicht das?' näher ansehen, müssen wir uns zuerst überlegen, was wir gegeben haben. In unserem Fall ist der Prozentwert (25%) und der Grundwert (60 entspricht 100%) gegeben. Das müssen wir im Hinterkopf behalten, wenn wir die Prozentstreifen ansehen.
Beim ersten Prozentstreifen sehen wir, dass ein der Prozentwert von 60% bei einem Grundwert von 25 eingezeichnet ist. Da wir aber 25% von 60 darstellen möchten, ist dies nicht der richtige Prozentstreifen. Es ist wichtig, dass nicht nur die Zahlen vorkommen, sondern dass sie zum Prozentwert oder Grundwert passen.
Beim zweiten Prozentstreifen stimmt schon mal der Grundwert von 60 mit unserer Angabe überein. Aber es ist ein Prozentwert von 50% eingezeichntet. Das heißt, dieser Prozentstreifen ist auch nicht der richtige.
Der letzte Prozentstreifen zeigt die 25% von 60 und somit haben wir den richtigen Prozentstreifen gefunden.
Bei Klick auf 'Hilfe' bekommst du weitere Unterstützung, um die Aufgabe zu lösen.
Hinweis - Grundwert, Anteil und Prozentwert
Wenn wir uns das nun an einem Prozentstreifen ansehen, bekommen wir:
Mit diesen Überlegungen kannst du nun selbst das Beispiel lösen.
Grundwert, Anteil und Prozentwert
Beim Prozentrechnen haben wir den Grundwert (100%), den Anteil und den Prozentwert gegeben. Aber wie kann das dargestellt werden?
In der folgenden Aufgabe hast du zwei der drei Werte und drei verschiedene Prozentstreifen gegeben. Das Ziel ist, den Prozentstreifen auszuwählen, welcher in der Aufgabe beschrieben wird. Dafür klickst du einfach auf die kleine graue Box unter dem Prozentstreifen. Sobald du mit deiner Lösung zufrieden bist, kannst du auf 'Überprüfen' klicken. Eine neue Aufgabe bekommst du, wenn du auf 'Neue Aufgabe' klickst.
Falls du dir nicht mehr sicher bist, wie genau das mit den Prozentstreifen und dem Grundwert, Anteil und Prozentwert funktioniert, wird es bei Klick auf 'Erklärung' noch kurz erklärt. Weitere Unterstützung gibt es unter dem Button 'Hilfe' .
Erklärung - Grundwert, Anteil und Prozentwert
In der Prozentrechnung spielen Grundwert (G entspricht 100%), Prozentwert (p%) und der Anteil (A) eine große Rolle.
Wenn wir uns das Beispiel 'Es sind 25% von 60 gegeben. Welcher der drei Prozentstreifen veranschaulicht das?' näher ansehen, müssen wir uns zuerst überlegen, was wir gegeben haben. In unserem Fall ist der Prozentwert (25%) und der Grundwert (60 entspricht 100%) gegeben. Das müssen wir im Hinterkopf behalten, wenn wir die Prozentstreifen ansehen.
Beim ersten Prozentstreifen sehen wir, dass ein der Prozentwert von 60% bei einem Grundwert von 25 eingezeichnet ist. Da wir aber 25% von 60 darstellen möchten, ist dies nicht der richtige Prozentstreifen. Es ist wichtig, dass nicht nur die Zahlen vorkommen, sondern dass sie zum Prozentwert oder Grundwert passen.
Beim zweiten Prozentstreifen stimmt schon mal der Grundwert von 60 mit unserer Angabe überein. Aber es ist ein Prozentwert von 50% eingezeichntet. Das heißt, dieser Prozentstreifen ist auch nicht der richtige.
Der letzte Prozentstreifen zeigt die 25% von 60 und somit haben wir den richtigen Prozentstreifen gefunden.
Bei Klick auf 'Hilfe' bekommst du weitere Unterstützung, um die Aufgabe zu lösen.
Hinweis - Grundwert, Anteil und Prozentwert
Wenn wir uns das nun an einem Prozentstreifen ansehen, bekommen wir:
Mit diesen Überlegungen kannst du nun selbst das Beispiel lösen.
Allgemein
Laut Hafner (2012, S. 91) gehört der Zuordnungsfehler bei Größen zu den vier zentralen Fehlerquellen der Prozentrechnung. Laut dem Autor ordnen die Schüler*innen die Zahlen der Aufgabenstellung falsch zu, so wird beispielsweise der Anteil als Grundwert gedeutet. Buchholtz et al. (2016) sprechen hier von einer unreflektierten Anwendung des mathematischen 'Wissens'. Laut Heinrichs (2015, S. 146) gehört zum Zuordnungsfehler bei Größen auch das fehlende Verständnis von Prozentwerten im Vergleich zu Absolutwerten und das fehlende Bewusstsein über die Bedeutung des Grundwertes in der Prozentrechnung.
Aufgabe
Die Aufgabe greif den Zuordnungsfehler bei Größen auf. Aus diesem Grund variiert die Angabe der Aufgabenstellung zwischen der Beschreibung von Grundwert und Prozentwert und der Beschreibung von Grundwert und Anteil. Die Aufgabe zielt durch die korrekte Auswahl des Prozentstreifens direkt darauf ab, die Größen richtig zuordnen zu können. Weiters wird durch die Variation der Angabe auch der Schülerfehler des falschen oder nicht tragfähigen Umgangs mit dem Prozentzeichen (Pöhler 2018, S. 30; Rosenthal, Ilany und Almog 2009) implizit mitbedacht. Die Aufgabe beinhaltet sowohl Prozentsätze kleiner 100% als auch größer, sodass der verminderte und der vermehrte Grundwert abgebildet werden.
Die Aufgabe ist so konzipiert, dass zur richtigen Lösung auch immer die invertierte Form dargestellt wird. Beispielsweise ist bei der Aufgabe '25% von 60' auch der Prozentstreifen von '60% von 25' dargestellt. Dies soll verhindern, dass die Schüler*innen 'nur' die Zahlen vergleichen und sie zu einem verstärkten Nachdenken und Reflektieren anregen. Alle Angaben und die Anordnung der Lösung innerhalb der drei Prozentstreifen werden randomisiert generiert. Der Button 'Erklärung' beschreibt das Vorgehen für die Analyse der Angabe und der Prozentstreifen anhand eines statischen Beispiels. Trotz dieser Erklärung müssen die Schüler*innen bei der Auswahl noch selbstständig denken. Eine mögliche Hilfestellung ( 'Hilfe' ) ist durch das Analysieren der konkreten Aufgabenstellung gegeben.
Literatur
Buchholtz, Nils, Björn Schwarz, Gabriele Kaiser, Rolf Biehler, und Werner Blum. 2016. „Eine Analyse der sogenannten Schlussrechnung – Die Relevanz der Ansätze von Arnold Kirsch für aktuelle Lernprozesse in der Lehrerausbildung“. Journal für Mathematik-Didaktik 37 (1): 31–53.
Hafner, Thomas. 2012. Proportionalität und Prozentrechnung in der Sekundarstufe I : Empirische Untersuchung und didaktische Analysen. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden.
Heinrichs, Hannah. 2015. Diagnostische Kompetenz von Mathematik-Lehramtsstudierenden. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden. doi:10.1007/978-3-658-09890-2.
Pöhler, Birte. 2018. Konzeptuelle und lexikalische Lernpfade und Lernwege zu Prozenten: Eine Entwichlungsforschungsstudie. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden. doi:10.1007/978-3-658-21375-6.
Rosenthal, Iris, Bat-Sheva Ilany, und Nava Almog. 2009. „Intuitive Knowledge of Percentages Prior to Learning“. Research in Mathematical Education 13 (4): 297–307.